MEJ

Pour la deuxième année consécutive, la collaboration entre le lycée français Jean Giono de Turin et le Collegio Carlo Alberto de Moncalieri a permis à 12 jeunes de vivre les mathématiques selon les principes de la recherche mathématique dans le cadre d’un atelier Math en Jeans. Trois sujets de recherche ont été proposés par notre chercheur référent Guillaume Kon Kam King. Les travaux des élèves ont été encadrés par Vivien Douine responsable du projet. Nous sommes heureux, à la veille de notre participation au congrès de Berlin, de mettre en ligne les résultats de nos recherches. Bonne lecture !


Fractales et chaos dans la ville

Les villes se développent seloxn deux grands types de mécanismes, soit elles suivent un schéma planifié souvent organisé autour de formes géométriques comme la grille ou les cercles concentriques, soit elle croissent de manière organique sous les contraintes géologiques (montagnes, fleuves) et des forces d’attraction générées par les marchés ou les lieux d’échanges, les grandes voies de transport, les gares etc. Dans son livre Fractal Cities Michael Batty explique que pour autant, jusqu’au début des années 80, seule la conception géométrique et planifiée de la croissance des villes a prévalu, occultant tout un pan de la réalité pourtant connu par les économistes et les sociologues. Entre les deux grands mécanismes, la formation des villes résulte de l’interaction entre une volonté de planification à l’échelle du centre ville et la somme d’une multitude de décisions individuelles locales corrélées. Les concepts classiques d’esthétique et de géométrie euclidienne qui jouent un rôle central dans l’étude du développement des villes sont peu adaptés à la description des structures émergeant de ces interactions, et nous aveuglent à une partie des phénomènes en jeu. En revanche, Michael Batty propose de profiter de l’émergence des sciences du chaos et de la complexité, ainsi que de la géométrie fractale qui fournit un langage dans lequel décrire les processus complexes et chaotiques et les outils pour les visualiser. L’objectif de ce projet sera de se familiariser avec les concepts fondamentaux liés à la géométrie fractale, puis d’étudier des modèles de croissance de ville utilisant des objets fractals. Il inclura une partie conséquente de programmation informatique. Cliquer sur l’image pour lire la suite…


Le blob champion d’optimisation spatiale

Le Blob est un être étrange, entre animal, végétal, champignon. Unicellulaire, c’est surtout une sorte de moisissure qui prospère dans les sous-bois sur les vieux troncs et les feuilles tombées au sol. On ne compte plus ses prouesses, qui vont de la survie en milieu hostile (eau, feu) à la cicatrisation en l’espace de quelques minutes, et même jusqu’à la duplication en cas de découpage. Il se régénère à intervalles réguliers, en séchant pour quelques jours avant de reprendre vie comme si le temps n’avait pas de prise sur lui. Le talent bien particulier qui va nous intéresser ici est la capacité du blob à se déplacer de manière très efficace pour récolter de la nourriture. Le blob s’étend pour couvrir une surface maximale, puis se concentre et fond pour ne garder que les axes les plus utiles pour faire circuler la nourriture dans son corps. Des chercheurs japonais on étudié plus précisément ce mode de déplacement et ont conclu qu’il constituait une méthode d’optimisation spatiale très performante, et proche d’autres structures de réseaux optimisés comme le métro de Tokyo . Ils présentent un modèle mathématique de formation de réseau inspiré de la biologie du blob que l’on étudiera et que l’on cherchera à simuler. Le principe de ce modèle est que partant d’un espace couvert de blob, des canaux se forment qui ont tendance à croître ou à décroître selon leur utilité pour transporter la nourriture. Le système évolue et lorsqu’il s’arrête, il atteint une structure presque optimale du point de vue de l’énergie dépensée et de la robustesse à des modifications suites à des dommages causés au blob. Cliquer sur l’image pour lire la suite…


Formation de motifs sur des supports dilatants

Le sujet How the crocodile got its stripes, formation de motifs sur des supports dilatants vient prendre la suite du sujet sur la formation des motifs sur les pelages des animaux. Pour résumer, l’apport principal du modèle de Turing est d’expliquer comment des hétérogénéités peuvent s’établir dans un système où a lieu une diffusion. Cela peut expliquer un grand nombre de phénomènes, allant du pelage des léopards à la forme d’algues marines en passant par les motifs des ailes de certains papillons. Une conséquence particulièrement profonde de ces travaux est que la structure exacte des motifs n’est pas écrite dans le code génétique, ce qui demanderait d’y stocker beaucoup d’informations, mais se développe de manière aléatoire selon la température initiale et d’autres paramètres pour former un pelage distinctif mais unique (comme les empreintes digitales). Or il existe des situations où une difficulté supplémentaire s’ajoute au mécanisme de formation des structures. Par exemple, on sait que le nombre de rayures d’alligators du Mississipi dépend de la température à laquelle l’embryon se développe, et ceci pour des différences de températures trop faibles pour que l’on puisse puisse l’expliquer simplement par des vitesses de diffusion ou de réaction modifiée. En revanche, la taille de l’embryon dépend elle de manière très sensible de la température, et on peut faire l’hypothèse que c’est le développement de l’embryon qui conditionne le nombre de rayures. On s’intéresse particulièrement aux alligators parce qu’ils offrent des possibilités d’étude très intéressantes: on peut enlever la coquille de l’oeuf sans percer la peau et regarder l’embryon se développer, pour suivre au cours du temps la formation des motifs. Deux objets d’étude sont possibles chez ces alligators: on peut examiner le processus de formation de leurs rayures, ou bien le processus de formation des dents, qui est lui aussi intimement relié à la croissance de la mâchoire pendant le développement de l’embryon. Contrairement au cas des tâches sur le pelage des animaux, où c’est l’interaction entre le processus de réaction-diffusion et la forme de l’animal qui dictait la forme du motif final, c’est ici l’interaction entre le processus de réaction-diffusion et la dilatation de l’animal qui joue un rôle crucial. Comme pour les motifs des animaux, un système d’équations différentielles classique va décrire la formation des structures, mais ce système est obtenu après une transformation de l’espace qui prend en compte la croissance de l’embryon. Une fois résolu le système d’équations différentielles, on utilise la transformation inverse pour retrouver la solution sur le support croissant. Cliquer sur l’image pour lire la suite…